SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de Yuri.Rodrix

Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Cálculo multivariable

Hasta ahora una función tomaba un número y devolvía un número, y su derivada medía una sola pendiente. Aquí damos el salto al espacio: funciones de varias variables, donde el dominio ya no es una recta sino un plano o un volumen, y donde a cada punto le podemos asignar un número (un campo escalar) o una flecha (un campo vectorial). Todo el aparato se reduce a un solo operador, ∇, y es exactamente el que, un par de posts más adelante, escribe las ecuaciones de Maxwell y hace radiar una antena.

∇=⟨∂∂x, ∂∂y, ∂∂z⟩ ⇒ ∇f⏟gradiente ,∇⋅F⏟divergencia ,∇×F⏟rotacional\nabla=\Big\langle\tfrac{\partial}{\partial x},\,\tfrac{\partial}{\partial y},\,\tfrac{\partial}{\partial z}\Big\rangle\ \Rightarrow\ \underbrace{\nabla f}_{\text{gradiente}}\ ,\quad \underbrace{\nabla\cdot\mathbf F}_{\text{divergencia}}\ ,\quad \underbrace{\nabla\times\mathbf F}_{\text{rotacional}}

La idea unificadora del post. El gradiente, la divergencia y el rotacional no son tres temas distintos: son el mismo operador ∇ aplicado de tres maneras — a un escalar, como producto punto con un vector y como producto cruz con un vector. Si entiendes ∇, entiendes los tres.

Derivadas parciales: una pendiente por dirección

Una derivada parcial congela todas las variables menos una y deriva como en una variable. Es, literalmente, la derivada que ya conoces mirando en una sola dirección:

∂f∂x=fx=∂xf=lim⁡h→0f(x+h, y)−f(x, y)h\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=\partial_x f=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,\,y)-f(x,\,y)}{h}

Si paras sobre la superficie z=f(x,y)z=f(x,y) y la cortas con un plano paralelo al eje xx, obtienes una curva 1D; la pendiente de su tangente es ∂f/∂x\partial f/\partial x. Cortas en la otra dirección y obtienes ∂f/∂y\partial f/\partial y. Juntar esas dos pendientes en un vector es el gradiente:

∇f=(∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z)\nabla f=\Big(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\Big)

El gradiente apunta en la dirección de máximo ascenso y su norma dice qué tan empinada es la subida. Manipúlalo en 3D: la superficie z=f(x,y)z=f(x,y) hace la idea evidente. Desliza el corte amarillo (un plano y=y0y=y_0 constante): lo que queda dibujado sobre la superficie es una curva 1D, z=f(x,y0)z=f(x,y_0) — una función de una sola variable, la del post de derivadas. El corte magenta hace lo mismo fijando x=x0x=x_0. En el punto donde se cruzan, la pendiente de cada curva es su derivada parcial, y las dos juntas son la flecha verde del gradiente sobre el piso. Debajo, las mismas dos rebanadas en 2D —gobernadas por los mismos sliders— confirman que cada corte es, literalmente, una función de una variable.

z=f(x,y)=x2+y2z=f(x,y)={ x}^{2}+{ y}^{2}
cargando 3D…
corte y=y0y=y_0 (amarillo)y0=−0.8y_0=-0.8
corte x=x0x=x_0 (magenta)x0=1.2x_0=1.2

En la intersección, la pendiente de cada corte es su parcial:

∂f∂x=2.39,∂f∂y=−1.6\frac{\partial f}{\partial x}=2.39,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-1.6

y juntas forman el gradiente (flecha verde en el piso):

∇f=(2.39, −1.6),  ∥∇f∥=2.88\nabla f=(2.39,\,-1.6),\ \ \|\nabla f\|=2.88

El gradiente vive en el plano del dominio (el piso) y apunta hacia donde la superficie sube más rápido. Arrastra con el mouse para orbitar.

Corte amarillo: z=f(x, y0)z=f(x,\,y_0) — función de x (eje horizontal), con y0=−0.8y_0=-0.8 fijo. La pendiente de la tangente es ∂f/∂x=2.39\partial f/\partial x=2.39.

Corte magenta: z=f(x0, y)z=f(x_0,\,y) — función de y (eje horizontal), con x0=1.2x_0=1.2 fijo. La pendiente es ∂f/∂y=−1.6\partial f/\partial y=-1.6.

Campos vectoriales: divergencia y rotacional

Un campo vectorial F=(P,Q)\mathbf F=(P,Q) asigna una flecha a cada punto: el viento, la corriente de un río, el campo eléctrico. De él, ∇ extrae dos números con significado físico inmediato.

Divergencia

∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

Cuánto brota el campo de un punto. Positiva = fuente, negativa = sumidero, cero = lo que entra sale (incompresible).

Rotacional

∇×F=(∂R∂y−∂Q∂z, ∂P∂z−∂R∂x, ∂Q∂x−∂P∂y)\nabla\times\mathbf F=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)

Cuánto gira el campo alrededor de un punto. Una ruedita de paletas puesta ahí giraría a esta velocidad.

Escribe tu propio P(x,y)P(x,y) y Q(x,y)Q(x,y), o usa los presets, y arrastra la sonda: el disco se pinta de rojo donde el campo es fuente y de azul donde es sumidero, y el arco mide el giro.

Teorema de la divergencia (en el plano)

∮∂RF⋅n^ dl=∬R(∇⋅F) dA\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\hat n\,dl=\iint_R(\nabla\cdot\mathbf F)\,dA

Flujo por el borde: 5.12  ≈  integral de la divergencia dentro: 5.119

Arrastra la caja violeta: lo que sale por su contorno = cuánta “fuente” encierra.

Teorema de Green / Stokes

∮∂RF⋅dl=∬R(∇×F)z dA\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot d\mathbf l=\iint_R(\nabla\times\mathbf F)_z\,dA

Circulación por el borde: 0  ≈  integral del rotacional dentro: 0

La sonda amarilla mide localmente (∇×F)z=0(\nabla\times\mathbf F)_z=0 (giro del campo).

Tamaño de la caja1.6

Integrales múltiples y los teoremas

Integrar en varias variables es la misma suma de Riemann de tu post de integrales, pero acumulando sobre un área o un volumen:

∬Rf dA=lim⁡Δx→0Δy→0∑i,jf(xi,yj) Δx Δy\iint_R f\,dA=\lim_{\substack{\Delta x\to0\\ \Delta y\to0}}\sum_{i,j} f(x_i,y_j)\,\Delta x\,\Delta y

Lo asombroso es que estas integrales sobre una región se pueden leer solo desde su borde. Esa es la familia de teoremas que cierra el cálculo multivariable, y que el laboratorio de arriba ya verificó numéricamente al arrastrar la caja:

Green / Stokes

∮∂RF⋅dl=∬R(∂Q∂x−∂P∂y) dA\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot d\mathbf l=\iint_R\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dA

La circulación por el contorno = integral del rotacional dentro.

∮∂SF⋅dl⏟circulacioˊn=∬S(∇×F)⋅dA⏟Stokes\underbrace{\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf l}_{\text{circulación}}=\underbrace{\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf A}_{\text{Stokes}}

Divergencia (Gauss)

∯∂VF⋅dA⏟flujo=∭V(∇⋅F) dV⏟divergencia\underbrace{\oiint_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf A}_{\text{flujo}}=\underbrace{\iiint_V(\nabla\cdot\mathbf F)\,dV}_{\text{divergencia}}

El flujo por la superficie cerrada = integral de la divergencia dentro.

Lectura unificada. Los tres teoremas dicen lo mismo: integrar la derivada (∇) sobre una región = evaluar la función en su frontera. Es el teorema fundamental del cálculo de tu primer post, subido a dimensiones más altas.

Puente a antenas

Aquí se cierra el círculo de la serie. Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son, palabra por palabra, los operadores que acabas de manipular:

Ley de Gauss = divergencia

∇⋅E=ρε0\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}

La divergencia del campo eléctrico es la densidad de carga: las cargas son las fuentes de E\mathbf E (el disco rojo del laboratorio).

Ley de Faraday = rotacional

∇×E=−∂B∂t\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}

Un campo magnético que cambia en el tiempo enrolla un campo eléctrico a su alrededor (el arco del rotacional). De este acople nace la onda que radia la antena.

En el simulador FDTD ese ∇×\nabla\times se calcula como diferencias finitas sobre la malla de Yee, exactamente como la sonda de aquí estima (∇×F)z(\nabla\times\mathbf F)_z con un cociente incremental. Nada nuevo: solo Maxwell discretizado en el tiempo.